Статников И. Н., Фирсов Г. И.,
г. Москва

УДК 519.240

ПЛАНИРУЕМЫЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
В ЗАДАЧАХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ МАШИН И МЕХАНИЗМОВ

В докладе рассматривается применение метода ПЛП-поиска для рационального проведения вычислительных экспериментов на математических моделях (с целью минимизации времени проведения экспериментов при максимально достижимом объеме информации) при анализе и синтезе многопараметрических и многокритериальных динамических систем машин и механизмов.

Общим для проектирования машин и механизмов является то, что они относительно просто поддаются математической формализации как задачи нелинейной (в общем случае) оптимизации: для заданной математической модели требуется подобрать такие значения варьируемых параметров, чтобы они обеспечивали получение экстремальных величин одного или нескольких критериев качества. Значит, приходится иметь дело с задачами многопараметрической и многокритериальной оптимизации.

Среди численных методов поиска оптимальных решений (а именно эти методы в абсолютном большинстве используются для решения практических задач) очевидно не существует универсального, пригодного для решения любой задачи нелинейной оптимизации. Поэтому естественным для разработчиков методов является обращение к вероятностным и статистическим интерпретациям решаемой задачи, в частности, к методу Монте-Карло. Одной из разновидностей этого метода при решении задач проектирования явился ЛП-поиск [1].

Однако при вероятностном и статистическом подходе к решению задачи проектирования возникает важная проблема: обилие информации требует умения ее преобразовывать в характеристики, зависящие и определяющие одновременно свойства проектируемого объекта, а не только отыскивать экстремумы заданных критериев качества. С этой целью в Институте машиноведения РАН был разработан метод ПЛП-поиска (планируемого ЛП-поиска) [2].

Рассмотрим кратко сущность ПЛП-поиска. В основание метода положена рандомизация расположения векторов в области , задаваемой неравенствами типа ( , а само J — число варьируемых параметров; ) и рассчитываемых с помощью ЛП_t - сеток [3]. На сегодняшний день в ПЛП-поиске используются величины J ≤ 51 и N < 2²⁰.

Процесс рандомизации расположения векторов в области состоит в случайном смешении уровней параметров a_ijhk тем или иным способом, где - номер уровня, а M(j) – число уровней варьируемого j-ro параметра по k - му критерию; , а H_ijk – число значений k - го критерия на i - м уровне j-го параметра; - номер критерия, где К -количество критериев качества. В результате обработки всех N вычислительных экспериментов, проведенных на математической модели, появляются выборочные множества значений , где – среднее значение k-го критерия качеств в i-м сечении j-го варьируемого параметра. Естественно рассматривать множество значений как аналог чувствительности в среднем критерия к изменениям параметра a_j при возможных сочетаниях значений других варьируемых параметров в заданной области .

Анализ графических зависимостей от a_ij позволяет визуально (конечно, приближенно) выделять области , концентрированно содержащие наилучшие результаты по , и одновременно, область , в которой сконцентрировано множество Парето-решений, либо компромиссных решений, если задана какая-либо схема компромисса. Разумеется, такой анализ подается и автоматизации, что требует дополнительной программной реализации.

На сегодняшний день все алгоритмы ПЛП-поиска реализованы в среде MATLAB [4]. Структура разработанного пакета включает следующие основные этапы:

1) определение существенных параметров a_m (m ≤ J) в смысле их влияния на значения каждого критерия ;

2) выделение областей концентрации наилучших решений по каждому критерию при заданной метрике , где — экстремальное значение k-го критерия качества, заранее известное или определяемое по ходу проведения вычислительных экспериментов;

3) построение на основе определенных существенных параметров и выделенных подобластей регрессионных зависимостей ;

4) выделение в K-мерном пространстве критериев множества с высокой концентрацией точек Парето (или, если возможно, построение поверхности Парето); в случае задания какой-либо схемы компромисса – выделение подобласти , содержащей наибольшую концентрацию требуемых компромиссных решений.

Наличие графических зависимостей , а также возможность определения влияющих параметров на критерии качества [2] с требуемой доверительной вероятностью, в значительной мере решают проблему интегрирования огромной численной информации, полученной в эксперименте, в ясные и поддающиеся логическому анализу (вплоть до "здравого смысла") характеристики.

Таким образом, метод ПЛП-поиска не только позволяет на основе проведения имитационных модельных экспериментов осуществить квазиравномерный просмотр. При этом путем построения аппроксимационных моделей критериев в зависимости от варьируемых параметров оказывается возможным провести оценку чувствительности критериев в среднем по этим параметрам

Изложенный подход применялся при решении целого ряда конкретных задач исследования, оптимизации и идентификации различных механических систем, в частности для синтеза шарнирно-рычажного четырехзвенного механизма съемного гребня чесальной машины с разгружателем и проектирования зубчато-рычажного механизма с остановкой, широко используемого в эмалировочных автоматах, в автоматах пищевой и полиграфической промышленности, в револьверных подачах прессов и т.д. С помощью рандомизации области изменения параметров выполнены оптимизация резонансного преобразователя для судовых валопроводов, используемого в целях снижения уровня их продольных колебаний, и получены оптимальные значения инерционно-жесткостных параметров динамической системы с 23 степенями свободы, описывающей двухступенчатый планетарный судовой редуктор. Показана принципиальная возможность отстройки собственных частот от заданных рабочих диапазонов для конкретных моделей редукторов.

Подведем некоторые итоги. Доказывая эффективность ПЛП-поиска по сравнению со “слепым” способом поиска экстремумов, не предлагается отбрасывать последний. Однако, очевидно, что ПЛП-поиск не только может помогать скорейшему поиску экстремумов, если это требуется, но и дает информацию о влиятельности варьируемых параметров и, что также важно, способствует возникновению вопросов, связанных с исследованием пространства варьируемых параметров (в частности, результаты ПЛП-поиска могут помочь выбрать эффективную схему компромисса).

Литература

1. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями качества. – М.: Наука, 1981. – 110 с.
2. Статников И.Н., Фирсов Г.И. ПЛП-поиск – эвристический метод решения прикладных задач оптимизации // Практика применения научного программного обеспечения в образовании и научных исследованиях. – СПб.: СПбГПУ, 2003. – С. 54 – 67.
3. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара.– М.:Физматгиз,1969.– 288 с.
4. Статников И.Н., Фирсов Г.И. ПЛП-поиск и его реализация в среде MATLAB // Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB. – М.: ИПУ РАН, 2004. – С. 398 – 411.